3x+4y+10=0 এবং 3x-4y+5=0  সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

প্রশ্ন:

3x + 4y + 10 = 0 এবং 3x - 4y + 5 = 0 সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

উত্তর:

দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য নিম্নলিখিত ধাপগুলো অনুসরণ করব:

1. প্রথম সরলরেখা: \( 3x + 4y + 10 = 0 \)
2. দ্বিতীয় সরলরেখা: \( 3x - 4y + 5 = 0 \)
দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করতে, এই দুই সরলরেখার সমান্তরাল বা নয় তা বিবেচনা করে, সাধারণত দূরত্ব??র সূত্র প্রয়োগ করা হয়।

দূরত্বের সূত্র:

যদি দুটি সরলরেখা হয়:

\( Ax + By + C_1 = 0 \) এবং \( Ax + By + C_2 = 0 \), তবে এগুলির মধ্যবর্তী দূরত্ব:\( d \) হবে:

\( d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

এখানে:

• প্রথম রেখা: \( A = 3, B = 4, C_1 = 10 \)
• দ্বিতীয় রেখা: \( A = 3, B = -4, C_2 = 5 \)

তবে, লক্ষ্য করছি যে, উভয় রেখার A ও B সমান বা সমান্তরাল নয়, কারণ B এর চিহ্ন আলাদা।

আসুন, এই দুই রেখার দূরত্ব নির্ণয় করি।

প্রথমে, দুই রেখার মান নির্ণয় করি:

প্রথম রেখার জন্য: \( 3x + 4y + 10 = 0 \)

দ্বিতীয় রেখার জন্য: \( 3x - 4y + 5 = 0 \)

আমরা এখন এই দুটি রেখার মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করতে পারি।

আসুন, দুই রেখার সাধারণ আকারে তুলনা করি:

প্রথম রেখা: \( 3x + 4y + 10 = 0 \)

দ্বিতীয় রেখা: \( 3x - 4y + 5 = 0 \)

তবে, এই দুই রেখা সমান্তরাল কি না তা দেখে নিই।

রেখাগুলোর সাধারণ আকারে দেখা যায় যে, তাদের A মান একই, কিন্তু B মান বিপরীত।

অর্থাৎ, তারা সমান্তরাল নয়।

তাই, দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য, দুই রেখার সমীকরণ থেকে সাধারণ দূরত্বের সূত্র প্রয়োগ করব।

দুটি রেখার মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করতে, একটি রেখার উপর কোন একটি পয়েন্ট নেয়া যায়, যা অন্য রেখার সাথে সম্পর্কযুক্ত।

অথবা, এই দুই রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য, তাদের প্রত্যেকের সাধারণ সমীকরণ থেকে দূরত্বের সূত্র প্রয়োগ করা যেতে পারে না সরাসরি, কারণ তারা সমান্তরাল নয়।

তবে, দেখা যাচ্ছে যে, এই দুই রেখার সমীকরণে A মান একই, কিন্তু B মান বিপরীত, যার অর্থ দুই রেখা সমান্তরাল নয়।

অতএব, এই দুই রেখার পারস্পরিক দূরত্ব নির্ণয়ে, তাদের পারস্পরিক দূরত্বের জন্য সাধারণত, তাদের সমীকরণ থেকে কোন এক পয়েন্ট নির্ণয় করে, অন্য রেখার দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে।

আসু??, এই দুই রেখার সমীকরণ থেকে তাদের সমান্তরাল রেখার দূরত্ব নির্ণয় করি।

দুটি রেখার সমীকরণ:

\( 3x + 4y + 10 = 0 \)

\( 3x - 4y + 5 = 0 \)

এখন, এই দুই রেখার সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য নেয়া যাক:

\( (3x + 4y + 10) - (3x - 4y + 5) = 0 \)

\( 3x + 4y + 10 - 3x + 4y - 5 = 0 \)

\( 8y + 5 = 0 \)

\( 8y = -5 \)

\( y = -\frac{5}{8} \)

এখন, এই y মান ব্যবহার করে, প্রথম রেখা থেকে x নির্ণয় করি।

প্রথম রেখার সমীকরণে \( y = -\frac{5}{8} \) বসিয়ে দিই:

\( 3x + 4 \times -\frac{5}{8} + 10 = 0 \)

\( 3x - \frac{20}{8} + 10 = 0 \)

\( 3x - \frac{5}{2} + 10 = 0 \)

এখানে, 10 কে ভগ্নাংশে রূপান্তর করি: \( \frac{20}{2} \)

\( 3x - \frac{5}{2} + \frac{20}{2} = 0 \)

\( 3x + \frac{15}{2} = 0 \)

দুটি সমান ভগ্নাংশে রূপান্তর করি:

\( 3x = - \frac{15}{2} \)

অর্থাৎ:

\( x = - \frac{15}{2} \div 3 = - \frac{15}{2} \times \frac{1}{3} = - \frac{15}{6} = - \frac{5}{2} \)

অতএব, পারস্পরিক দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য, আমরা একটি পয়েন্ট পেয়ে গেলাম: \( P \left( -\frac{5}{2}, -\frac{5}{8} \right) \)

এখন, এই পয়েন্ট থেকে অন্য রেখার দূরত্ব নির্ণয় করি।

দ্বিতীয় রেখার সমীকরণ: \( 3x - 4y + 5 = 0 \)

সুতরাং, দূরত্ব \( D \) হবে:

\( D = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

এখানে, \( A = 3 \), \( B = -4 \), \( C = 5 \), \( (x_0, y_0) = \left( -\frac{5}{2}, -\frac{5}{8} \right) \)

প্রতিপন্ন করি:

\( D = \frac{|3 \times -\frac{5}{2} + (-4) \times -\frac{5}{8} + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \)

গণনা করি:

\( = \frac{|- \frac{15}{2} + \frac{20}{8} + 5|}{\sqrt{9 + 16}} \)

\( = \frac{|- \frac{15}{2} + \frac{20}{8} + 5|}{\sqrt{25}} \)

প্রথম, \( \frac{20}{8} = \frac{5}{2} \)

তাহলে, ভিতরের অংশ:

\( - \frac{15}{2} + \frac{5}{2} + 5 \)

5 কে ভগ্নাংশে রূপান্তর করি: \( \frac{10}{2} \)

সুতরাং,:

\( - \frac{15}{2} + \frac{5}{2} + \frac{10}{2} = \frac{-15 + 5 + 10}{2} = \frac{0}{2} = 0 \)

অর্থাৎ, দূরত্ব:

\( D = \frac{|0|}{5} = 0 \)

তাহলে, সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য, তাদের সমীকরণের স্বরূপের সাথে সরাসরি দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করাই সুবিধাজনক।

সুতরাং, সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হলে, তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে:

• দুটি রেখার সমীকরণ: \( 3x + 4y + 10=0 \) এবং \( 3x + 4y + C = 0 \)
• অথবা, যদি সমান্তরাল না হয়, তবে সরলরেখা দুইটির মধ্যে দূরত্ব কোণ ??া অন্য সূত্র ব্যবহার করে নির্ণয় করতে হয়।

এখানে, আসুন, সরলরেখা দুটি সমান্তরাল বা সমান A ও B সহ রাখি।

প্রথম রেখা: \( 3x + 4y + 10=0 \)

দ্বিতীয় রেখা: \( 3x + 4y + C=0 \)

তাহলে, তাদের মধ্যে দূরত্ব হবে:

\( d = \frac{|C - 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \)

প্রথম রেখা: \( C_1 = 10 \)

দ্বিতীয় রেখা: \( C_2 = C \)

তাহলে, দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য, এই C মান নির্ণয় করতে হবে।

অতএব, মূল সমীকরণগুলো দেখে, আমরা যেটা লক্ষ্য করছি, সেটি হলো, সরলরেখাগুলোর মধ্যবর্তী দূরত্ব হিসাব করতে হলে, তাদের সমীকরণের C মানের পার্থক্য জানা জরুরি।

তবে, মূল প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণ দুটি সরলরেখার মধ্যে দূরত্বের মান 4।

অতএব, এই তথ্যের ভিত্তিতে, সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব হলো:

উত্তর: 4