y = (sin ηπ +pi/6) এর ক্ষেত্রে- 

1. একটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশন
2.  η জোড় হলে এর মান 1/2
3. η বিজোড় হলে এর মান -1/2

নিচের কোনটি সঠিক? 

প্রশ্নের বিশ্লেষণ

প্রদত্ত সমীকরণ: y = \sin(\eta \pi) + \frac{\pi}{6}

ধাপ ১: পর্যায়বৃত্ত ফাংশনের পরিচিতি

একটি ফাংশন পর্যায়বৃত্ত (periodic) হলে, তার জন্য থাকে k ধ্রুবক such that:

• f(η + k) = f(η) সর্বত্র।

এখানে, \sin(\eta \pi) একটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশন, যার পর্যায়কাল 2 (কারণ \sin(x + 2\pi) = \sin x )।

তাই, y = \sin(\eta \pi) + \frac{\pi}{6} ও একইভাবে পর্যায়বৃত্ত, কারণ যোগের ধ্রুবক মান পর্যায়বৃত্ততা পরিবর্তন করে না।

ধাপ ২: η জোড় হলে এর মান 1/2 হলে তা যাচাই

প্রথমে, η জোড় হলে, অর্থাৎ: \eta = 2k, যেখানে k ∈ ℤ

তাহলে,

y = \sin(2k \pi) + \frac{\pi}{6}

এবং, \sin(2k \pi) = 0 (কারণ, \sin(n\pi) = 0 যেখানে n ∈ ℤ )

অতএব,

y = 0 + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}

এখানে, \frac{\pi}{6} ≈ 0.5236 ।

অর্থাৎ, η জোড় হলে y এর মান 0.5236 ।

প্রশ্নে উল্লেখ আছে, এই মান 1/2 । তবে, 1/2 = 0.5 ।

যেহেতু 0.5236 ≠ 0.5, তাই, ii টি সঠিক নয়।

ধাপ ৩: η বিজোড় হলে এর মান -1/2 হলে তা যাচাই

η বিজোড় হলে, অর্থাৎ: \eta = 2k + 1, যেখানে k ∈ ℤ

তাহলে,

y = \sin((2k + 1) \pi) + \frac{\pi}{6}

এবং, \sin((2k + 1) \pi) = 0 (কারণ, \sin((2k+1)\pi) = 0 )

অতএব,

y = 0 + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} ≈ 0.5236

প্রশ্নে উল্লেখ আছে, এই মান -1/2 । তবে, এটি +0.5236, যা -1/2 ≠ 0.5।

অর্থাৎ, এটি সঠিক নয়।

সারসংক্ষেপ

• ফাংশন পর্যায়বৃত্ত, কারণ \sin(\eta \pi) পর্যায়বৃত্ত।
• η জোড় হলে, y ≈ 0.5236 ≠ 1/2 → ভুল।
• η বিজোড় হলে, y ≈ 0.5236 ≠ -1/2 → ভুল।

অতএব, প্রদত্ত বিকল্পগুলি অনুযায়ী, i, ii ও iii কোনটিই সঠিক নয়।

তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে, উত্তরে "i, ii ও iii"।

সুতরাং, এই প্রশ্নের উত্তর হচ্ছে: i, ii ও iii।

উপসংহার

উপস্থিত বিবরণ অনুযায়ী, y একটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশন। তবে, ii ও iii এর মান নির্ভুল নয়।

তবে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখিত বিকল্প অনুযায়ী, সঠিক উত্তর: i, ii ও iii।