\( \vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}, \, \vec{B} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \) হলে নিচের কোনগুলো সঠিক?

প্রদত্ত ভেক্টরগুলো হলো:

\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}
\vec{B} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}

চলুন নিচের বিষয়গুলো বিশ্লেষণ করি:

i. ভেক্টর A ও B এর ডট প্রোডাক্ট (Dot Product)

ডট প্রোডাক্ট নির্ণয়ঃ

\vec{A} \cdot \vec{B} = (1)(3) + (2)(2) + (3)(-1) = 3 + 4 - 3 = 4

অর্থাৎ, \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 4\)। এটি সত্য।

ii. ভেক্টর A ও B এর ক্রস প্রোডাক্ট (Cross Product)

ক্রস প্রোডাক্ট নির্ণয়ঃ

\vec{A} \times \vec{B} = 
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & -1
\end{vmatrix}
= \hat{i} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}
- \hat{j} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}
+ \hat{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}
\end{code}

= \hat{i} (2 \times -1 - 3 \times 2) - \hat{j} (1 \times -1 - 3 \times 3) + \hat{k} (1 \times 2 - 3 \times 2)
= \hat{i} (-2 - 6) - \hat{j} (-1 - 9) + \hat{k} (2 - 6)
= \hat{i} (-8) - \hat{j} (-10) + \hat{k} (-4)
= -8\hat{i} + 10\hat{j} - 4\hat{k}
\end{code}

|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}

|\vec{B}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}