(-4,3) বিন্দু থেকে x²+y²-8x-6y+9=0 বৃত্তের উপরিস্থিত কোন বিন্দুর সর্বনিম্ম দূরত্ব কত?

দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ:

\(x^2 + y^2 - 8x - 6y + 9 = 0\)

বৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয়:

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) এর সাথে তুলনা করে পাই,

\(2g = -8 \Rightarrow g = -4\)

\(2f = -6 \Rightarrow f = -3\)

সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \(C(h, k) = C(-g, -f) = C(4, 3)\)

বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয়:

বৃত্তের ব্যাসার্ধ, \(r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2 - 9} = \sqrt{16 + 9 - 9} = \sqrt{16} = 4\)

বহিঃস্থ বিন্দু \(P(-4, 3)\) থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব নির্ণয়:

\(PC = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{(4 + 4)^2 + 0^2} = \sqrt{8^2} = 8\)

যেহেতু \(PC > r\), তাই \(P\) বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত।

বৃত্তের উপরিস্থ কোনো বিন্দুর সর্বনিম্ন দূরত্ব হবে \(PC - r\)

অতএব, নির্ণেয় সর্বনিম্ন দূরত্ব \( = PC - r = 8 - 4 = 4\)

⚠️ এখানে একটা সমস্যা আছে! প্রদত্ত উত্তর ৬, কিন্তু আমাদের হিসাবে ৪ আসছে। চলো, আবার একটু দেখি 🤔

আচ্ছা! প্রশ্নটা একবার ভালো করে দেখো। \(P(-4,3)\) 😲 এবং \(C(4,3)\)। তার মানে \(P\) বিন্দুটি \(x\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখায় অবস্থিত, কেন্দ্র থেকে বাম দিকে।

তাহলে, সর্বনিম্ন দূরত্ব হবে \(|PC - r| = |8 - 4| = 4\). 🤔

💡 আমার মনে হয় প্রশ্ন অথবা উত্তরে কোথাও একটা ভুল আছে। যদি প্রশ্নানুযায়ী উত্তর ৬ হতে হয়, তবে বিন্দুটি অন্য কিছু হতে হবে।

যদি আমরা উত্তর ৬ ধরে নেই, তাহলে \(PC - r = 6 \implies PC = 6 + r = 6 + 4 = 10\). সেক্ষেত্রে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-6, 3)\) অথবা \((14,3)\) হতে হবে।

যাইহোক, প্রদত্ত তথ্যের উপর ভিত্তি করে সর্বনিম্ন দূরত্ব \(4\)-ই সঠিক। 🥳