Another Explanation (5):
প্রশ্ন: \((-1, -\sqrt{3})\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক কত?
উত্তর: \((2, 240^\circ)\)
সমাধান:
একটি বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\) নির্ণয় করতে হলে, মূল বিন্দুটি থেকে কার্তেজিয়ান অবস্থান \((x, y)\) থেকে \(r\) ও \(\theta\) নির্ণয় করতে হয়।
- প্রথমে, কার্তেজিয়ান স্থানাঙ্ক দেওয়া থাকলে, আমরা জানি:
\[
x = -1, \quad y = -\sqrt{3}
\]
- পোলার স্থানাঙ্কের জন্য, আমরা ব্যবহার করি:
\[
r = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)
\]
এবং \(\theta\) কে উপযুক্ত কোণে রুপান্তর করতে হবে।
- প্রথমে, \(r\) নির্ণয় করি:
\[
r = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2
\]
- এখন, \(\theta\) নির্ণয় করি:
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3})
\]
যা হয়:
\[
\theta = 60^\circ
\]
- কিন্তু, কার্তেজিয়ান কোঅর্ডিনেটের চতুর্থাংশ অনুযায়ী, যেখানে \(x < 0\) এবং \(y < 0\), সেই চতুর্থাংশে \(\theta\) এর মান হবে:
\[
\theta = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ
\]
অথবা, মূল পোলার কোঅর্ডিনেটের জন্য, কোণের মান 0 থেকে 360 ডিগ্রী মধ্যে নেওয়া হয়।
অতএব, বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক হলো:
\( \boxed{(2, 240^\circ)} \)
