sin 2θ এর রেঞ্জ কোনটি?

প্রশ্ন: sin 2θ এর রেঞ্জ কোনটি?

উত্তর: [-1, 1]

বিশ্লেষণ:

সাধারণত, যেকোনো মৌলিক সাইন ফাংশনের জন্য, এর মান সর্বোচ্চ হতে পারে 1 এবং সর্বনিম্ন হতে পারে -1।

সাইন 2θ এর জন্য, আমরা জানি:

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

যেহেতু, sin θ এবং cos θ এর মান সর্বদা [-1, 1] এর মধ্যে থাকে, তাই:

-1 ≤ sin θ ≤ 1
-1 ≤ cos θ ≤ 1

তবে, আমরা জানি, যেকোনো real সংখ্যার জন্য, 2 sin θ cos θ এর মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন হতে পারে 1 বা -1, কারণ এই মানগুলো সাইন ও কোসাইন এর মানের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মানে পৌঁছে যায়।

প্রমাণের জন্য, যদি sin θ = 1, তাহলে:

sin 2θ = 2 × 1 × 0 = 0

অথবা, যদি sin θ = 0, তাহলে:

sin 2θ = 2 × 0 × 1 = 0

কিন্তু, যখন sin θ = 1/√2 এবং cos θ = 1/√2, তখন:

sin 2θ = 2 × (1/√2) × (1/√2) = 2 × 1/2 = 1

এবং, যখন sin θ = -1/√2 এবং cos θ = 1/√2, তখন:

sin 2θ = 2 × (-1/√2) × (1/√2) = -1

অতএব, sin 2θ এর মান সর্বোচ্চ হতে পারে 1 এবং সর্বনিম্ন হতে পারে -1।

সুতরাং, এর রেঞ্জ হলো:

Answer: [-1, 1]