Another Explanation (5): প্রথমে সমীকরণটি হলো:
\[
\int e^x \left(\sin 3x + \frac{3}{\sec 3x}\right) dx
\]
চলুন প্রথম অংশটি আলাদা করে দেখি:
\[
\int e^x \sin 3x \, dx + \int e^x \frac{3}{\sec 3x} \, dx
\]
জেনে রাখি, \(\sec 3x = \frac{1}{\cos 3x}\), তাই:
\[
\frac{3}{\sec 3x} = 3 \cos 3x
\]
অর্থাৎ, সমীকরণটি হয়ে যায়:
\[
\int e^x \sin 3x \, dx + 3 \int e^x \cos 3x \, dx
\]
এখন, আসুন প্রথম অংশের সমাধান করি:
\[
I_1 = \int e^x \sin 3x \, dx
\]
এবং দ্বিতীয় অংশের জন্য,
\[
I_2 = \int e^x \cos 3x \, dx
\]
উভয়ই সমাধান করতে আমরা ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করব। প্রথমে \(I_1\):
**ভূমিকা:**
নির্দিষ্ট করুন,
\[
u = \sin 3x \quad \Rightarrow \quad du = 3 \cos 3x \, dx
\]
\[
dv = e^x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = e^x
\]
তাহলে,
\[
I_1 = e^x \sin 3x - \int e^x \cdot 3 \cos 3x \, dx = e^x \sin 3x - 3 \int e^x \cos 3x \, dx
\]
এবং \(I_2\):
**ভূমিকা:**
\[
u = \cos 3x \quad \Rightarrow \quad du = -3 \sin 3x \, dx
\]
\[
dv = e^x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = e^x
\]
তাহলে,
\[
I_2 = e^x \cos 3x + 3 \int e^x \sin 3x \, dx = e^x \cos 3x + 3 I_1
\]
এখন, আমাদের কাছে দুটি সমীকরণ:
\[
I_1 = e^x \sin 3x - 3 I_2
\]
\[
I_2 = e^x \cos 3x + 3 I_1
\]
এগুলো সমাধান করতে, প্রথমে \(I_2\) থেকে \(I_1\) এর মান প্রকাশ করি:
\[
I_2 = e^x \cos 3x + 3 I_1
\]
এবং এই মানকে প্রথম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:
\[
I_1 = e^x \sin 3x - 3 (e^x \cos 3x + 3 I_1)
\]
বিন্যাস:
\[
I_1 = e^x \sin 3x - 3 e^x \cos 3x - 9 I_1
\]
অর্থাৎ,
\[
I_1 + 9 I_1 = e^x \sin 3x - 3 e^x \cos 3x
\]
\[
10 I_1 = e^x (\sin 3x - 3 \cos 3x)
\]
\[
I_1 = \frac{1}{10} e^x (\sin 3x - 3 \cos 3x)
\]
এখন, \(I_2\):
\[
I_2 = e^x \cos 3x + 3 I_1 = e^x \cos 3x + \frac{3}{10} e^x (\sin 3x - 3 \cos 3x)
\]
বিন্যাস:
\[
I_2 = e^x \cos 3x + \frac{3}{10} e^x \sin 3x - \frac{9}{10} e^x \cos 3x
\]
\[
I_2 = e^x \left( \cos 3x - \frac{9}{10} \cos 3x \right) + \frac{3}{10} e^x \sin 3x
\]
\[
I_2 = e^x \left( \frac{1}{10} \cos 3x \right) + \frac{3}{10} e^x \sin 3x
\]
অতএব,
\[
I_2 = \frac{1}{10} e^x \cos 3x + \frac{3}{10} e^x \sin 3x
\]
সুতরাং,
\[
\int e^x \left(\sin 3x + 3 \cos 3x \right) dx = I_1 + 3 I_2
\]
এখন,
\[
I_1 + 3 I_2 = \frac{1}{10} e^x (\sin 3x - 3 \cos 3x) + 3 \left( \frac{1}{10} e^x \cos 3x + \frac{3}{10} e^x \sin 3x \right)
\]
বিন্যাস করি:
\[
= \frac{1}{10} e^x \sin 3x - \frac{3}{10} e^x \cos 3x + \frac{3}{10} e^x \cos 3x + \frac{9}{10} e^x \sin 3x
\]
সমন্বয়:
\[
= \left( \frac{1}{10} e^x \sin 3x + \frac{9}{10} e^x \sin 3x \right) + \left( - \frac{3}{10} e^x \cos 3x + \frac{3}{10} e^x \cos 3x \right)
\]
\[
= e^x \sin 3x + 0 = e^x \sin 3x
\]
অতএব,
\[
\int e^x \left(\sin 3x + \frac{3}{\sec 3x}\right) dx = \boxed{e^x \sin 3x + C}
\]
where \(C\) হলো কনস্ট্যান্ট।
