16cos30°cos15°cos"(7" 1/2)°sin(7" 1/2)° =?
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(16 \cos 30^\circ \cos 15^\circ \cos \left(7 \frac{1}{2}^\circ \right) \sin \left(7 \frac{1}{2}^\circ \right) = ?\)
উত্তর: \(\sqrt{3}\)
সমাধান:
প্রথমে, মূল সমীকরণটি লিখি:
\[
16 \cos 30^\circ \cos 15^\circ \cos \left(7 \frac{1}{2}^\circ \right) \sin \left(7 \frac{1}{2}^\circ \right)
\]
নোট: \(7 \frac{1}{2}^\circ = 7.5^\circ\)
ধাপ ১: \(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\) সূত্র থেকে,
আমরা পাই:
\[
\sin 15^\circ = 2 \sin 7.5^\circ \cos 7.5^\circ
\]
অর্থাৎ,
\[
\sin 7.5^\circ \cos 7.5^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{2}
\]
অতএব,
\[
\cos 7.5^\circ \sin 7.5^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{2}
\]
এখন, মূল সমীকরণে:
\[
16 \cos 30^\circ \cos 15^\circ \times \cos 7.5^\circ \sin 7.5^\circ
\]
এতে স্থানান্তর করি:
\[
16 \cos 30^\circ \cos 15^\circ \times \frac{\sin 15^\circ}{2}
\]
এবং, সমাধান করি:
\[
16 \times \frac{1}{2} \times \cos 30^\circ \times \cos 15^\circ \times \sin 15^\circ
\]
অর্থাৎ:
\[
8 \times \cos 30^\circ \times \cos 15^\circ \times \sin 15^\circ
\]
ধাপ ২: মানগুলি জানি:
\[
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
\cos 15^\circ = \cos (45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]
\[
\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]
ধাপ ৩: মূল সমাধানে স্থানান্তর করি:
\[
8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]
প্রথমে, 8 ও \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[
8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}
\]
অতএব, সমান হবে:
\[
4 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]
প্রথম দুটি টার্মের গুণফল:
\[
\cancel{4} \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{3} \times (\sqrt{6} + \sqrt{2})
\]
তাহলে, সম্পূর্ণ সমাধান:
\[
\sqrt{3} \times (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]
এখন, \((\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})\) গুণফল:
\[
(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4
\]
অতএব, সমাধান:
\[
\frac{\sqrt{3} \times 4}{4} = \sqrt{3}
\]
**অতএব, উত্তর: \(\boxed{\sqrt{3}}\)**
