\( \int x \left( 1 + \log x \right) dx \) = ?

Explanation: Hints: কোনো একটি ফাংশনের \(x\) এর সর্বোচ্চ ঘাত যত, সাধারণত সেটি অক্ষকে ততবার ছেদ করে। Solve: \(y = (x^2 - 1)(x^4 - 30) = x^6 - 30x^2 - x^4 + 30\) \(x = \pm 1\) এবং \((x^2)^2 - 30 = 0 \implies x^2 = \pm \sqrt{30}\) এর দ্বারা \(\pm \sqrt{30} = \pm 2.34\) এর সমাধান পাওয়া যায়। অতএব, \(x\) এর বাচিত মূলগুলো হচ্ছে \(1, -1, \pm\sqrt{30}\) Ans. (C)

Another Explanation (5): ```html

সমাধান: \( \int x \left( 1 + \log x \right) dx \)

আমরা এই ইন্টিগ্রালটিParts বা খণ্ডন সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করব। খণ্ডন সূত্রটি হলো: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] এখানে, আমরা \( u = 1 + \log x \) এবং \( dv = x \, dx \) ধরব। তাহলে, \[ du = \frac{1}{x} \, dx \] এবং \[ v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \] এখন, খণ্ডন সূত্র প্রয়োগ করে পাই: \[ \int x \left( 1 + \log x \right) dx = \left( 1 + \log x \right) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ = \frac{x^2}{2} \left( 1 + \log x \right) - \frac{1}{2} \int x \, dx \] \[ = \frac{x^2}{2} \left( 1 + \log x \right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + c \] \[ = \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + c \] \[ = \frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{2} \log x + c \] \[ = \frac{x^2}{4} \left( 1 + 2 \log x \right) + c \] সুতরাং, \[ \int x \left( 1 + \log x \right) dx = \frac{x^2}{4} (1 + 2\log x) + c \] 🥳🎉 ```