\( f(x) = \sqrt{x^2-5x+6} \) ফাংশনের ডোমেইন ও রেঞ্জ যথাক্রমে-

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \( f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6} \) ফাংশনের ডোমেইন ও রেঞ্জ যথাক্রমে কি?

সমাধান:

প্রথমে, আমাদের ফাংশনের অন্তর্নিহিত অংশ \(x^2 - 5x + 6\) এর মান ন্যূনতম বা বাস্তব হওয়ার শর্ত নির্ণয় করতে হবে। কারণ, স্কয়ার রুটের ভিতরে মান অবশ্যই ধনাত্মক বা শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ,

\[ x^2 - 5x + 6 \geq 0 \]

এটি একটি quadratic অসমতা। প্রথমে, এটিকে সমাধান করি:

\[ x^2 - 5x + 6 \geq 0 \]

এটি একটি মানদণ্ডের সমাধান করতে পারি। প্রথমে, এর মূলগুলো নির্ণয় করি:

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] \[ (x - 2)(x - 3) = 0 \] => মূলগুলো: \(x = 2\) ও \(x = 3\)

Quadratic এর চিহ্ন নির্ণয় করি। কারণ এটি উল্টোপথের একটি উপবৃত্ত যা ওপরে উঁচু। তাই, এটি ধনাত্মক বা শূন্য হবে যখন:

\[ x \leq 2 \quad \text{অথবা} \quad x \geq 3 \]

অর্থাৎ, ডোমেইন হবে:

\[ (-\infty, 2] \cup [3, \infty) \]

রেঞ্জ নির্ণয়:

ফাংশনটি স্কয়ার রুটের ভিতরের মানের মান সর্বনিম্ন কি এবং সর্বোচ্চ কি হতে পারে তা পর্যবেক্ষণ করি।

যেহেতু \(x^2 - 5x + 6 \geq 0\), এর মান সর্বদা ধনাত্মক বা শূন্য।

এখন, এই expression এর মান কত হতে পারে?

আসুন, এর মানের সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করি।

প্রথম, এর গাণিতিক মান নির্ণয় করি:

\[ x^2 - 5x + 6 \]

এটি একটি মানদণ্ডের জন্য, যেখানে \(x\) ডোমেইনে থাকে:

\[ x \leq 2 \quad \text{বা} \quad x \geq 3 \]

চলুন, এই মানের জন্য সর্বনিম্ন মান খুঁজে বের করি।

1. যখন \(x \leq 2\):

এখানে, ডোমেইনের মানগুলি \(x \leq 2\)।

Quadratic এর চরিত্র অনুযায়ী, এর গাণিতিক মান এর অন্তর্নিহিত মানের জন্য সর্বনিম্ন মানটি নির্ণয় করতে হয়।

এটি একটি উল্টোপথের উপবৃত্ত। এর সর্বনিম্ন মান হবে এর vertex এ।

2. যখন \(x \geq 3\):

এখানে, ডোমেইনের মানগুলি \(x \geq 3\)।

ও আবার, vertex নির্ণয় করে দেখা যাক।

Vertex এর নির্ণয়:

Quadratic \(x^2 - 5x + 6\) এর vertex এর \(x\)-মান নির্ণয় করি:

\[ x_{vertex} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \times 1} = \frac{5}{2} = 2.5 \]

এটি \(x = 2.5\) এ সর্বনিম্ন মান হবে।

যেহেতু, ডোমেইনটি বিভক্ত, তবে vertex এর মানটি মাঝখানে।

মূল্য নির্ণয়:

1. যখন \(x \leq 2\):

এখানে, সর্বনিম্ন মানটি হবে \(x=2\) এ।

এবং,

\[ f(2) = \sqrt{(2)^2 - 5 \times 2 + 6} = \sqrt{4 - 10 + 6} = \sqrt{0} = 0 \]

2. যখন \(x \geq 3\):

এখানে, সর্বনিম্ন মানটি হবে vertex এর কাছাকাছি, অর্থাৎ \(x=3\):

\[ f(3) = \sqrt{9 - 15 + 6} = \sqrt{0} = 0 \]

অতএব, রেঞ্জ:

স্কয়ার রুটের মান সর্বদা ধনাত্মক বা শূন্য।

সর্বনিম্ন মান 0, যা দুটি ডোমেইন অংশে অর্জিত হয়েছে।

অতএব, রেঞ্জ: \( y \geq 0 \)

সারাংশ:

ডোমেইন: \( (-\infty, 2] \cup [3, \infty) \)

রেঞ্জ: \( [0, \infty) \)

উত্তর:

ডোমেইন: \( x \leq 2 \) বা \( x \geq 3 \)

রেঞ্জ: \( y \geq 0 \)