Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদানকৃত শর্তসমূহ হলো:
\[
x > 0, \quad y > 0, \quad x + y < 6, \quad 2x + y < 8
\]
আমাদের লক্ষ্য হলো \(z = 2x + y\) এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করা।
ধাপ ১: সীমাবদ্ধতাগুলি চিহ্নিত করা
সীমাবদ্ধতাগুলি হলো:
- \(x > 0\)
- \(y > 0\)
- \(x + y < 6\)
- \(2x + y < 8\)
ধাপ ২: সীমান্ত রেখাগুলির উপর বিবেচনা
সীমাবদ্ধতাগুলির সমানুপাতিক রেখাগুলির উপর সম্ভাব্য সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করতে হবে।
প্রথমত, \(z = 2x + y\) এর মান কমানোর জন্য, আমাদের দেখতে হবে কোথায় এটি সর্বনিম্ন হতে পারে, অর্থাৎ, যেখানে এর মান সীমাবদ্ধতার মধ্যে রয়েছে।
ধাপ ৩: সীমাবদ্ধতাগুলির উপর কক্ষপথ নির্ণয়
সীমাবদ্ধতাগুলির মধ্যে, কঠিন সীমা হলো:
\[
x + y = 6 \quad \text{(প্রান্তে)}
\]
\[
2x + y = 8 \quad \text{(প্রান্তে)}
\]
আমরা এই লাইন দুটির সাথে ভেক্টর পয়েন্টের মান নির্ণয় করব।
ধাপ ৪: সম্ভাব্য সর্বনিম্ন মানের জন্য পরীক্ষা
আমাদের লক্ষ্য হলো:
\[
z = 2x + y
\]
এই মানের সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করতে, আমরা দুই সীমান্ত রেখার সাথে মিলিত পয়েন্টগুলো পরীক্ষা করব।
- প্রথমে, \(x + y = 6\) রেখার জন্য:
\[
y = 6 - x
\]
অতএব,
\[
z = 2x + (6 - x) = 2x + 6 - x = x + 6
\]
অর্থাৎ, \(z\) এর মান \(x + 6\)।
যেহেতু, \(x > 0\), তাই সর্বনিম্ন মান হবে যখন \(x\) সর্বনিম্ন, অর্থাৎ \(x \to 0^+\)।
সুতরাং, এই রেখায় \(z \to 6^+\)।
- দ্বিতীয়ত, \(2x + y = 8\) রেখার জন্য:
\[
y = 8 - 2x
\]
অতএব,
\[
z = 2x + (8 - 2x) = 8
\]
এখানে, \(z = 8\), যা সর্বনিম্ন মানের থেকে বেশি।
এখন, উভয় সীমারেখার মধ্যে, সর্বনিম্ন মান হবে যখন \(x \to 0^+\) এবং \(y \to 6^-\)।
তাই, এই পয়েন্টে, \(z \to 6^+\)।
ধাপ ৫: চূড়ান্ত সিদ্ধান্ত
যেহেতু \(z\) এর মান ধ্রুবক নয়, তবে সর্বনিম্ন মানের কাছাকাছি, এবং সীমা অনুযায়ী, \(z\) এর সর্বনিম্ন মান হবে \(\boxed{6}\)।
