Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(4x + 7y = 11\) সরলরেখার উপর লম্ব এবং যা \(y\)-অক্ষের থেকে 2 একক দূরত্বে ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরা যাক, সরলরেখাটির সমীকরণ হলো:
\[
L: y = mx + c
\]
এবং যেহেতু এটি \(4x + 7y = 11\) রেখার উপর লম্ব, তাহলে এর ঢাল হবে:
\[
m_{L} = -\frac{1}{m_{AB}}
\]
যেখানে \(m_{AB}\) হলো মূল রেখার ঢাল। মূল রেখার সমীকরণ হলো:
\[
4x + 7y = 11 \Rightarrow y = -\frac{4}{7}x + \frac{11}{7}
\]
অর্থাৎ, মূল রেখার ঢাল:
\[
m_{AB} = -\frac{4}{7}
\]
অতএব, লম্ব রেখার ঢাল:
\[
m_{L} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{-\frac{4}{7}} = \frac{7}{4}
\]
অতএব, লম্ব রেখার সমীকরণ:
\[
y = \frac{7}{4}x + c
\]
এখন, এই রেখাটি \(y\)-অক্ষের থেকে 2 একক দূরত্বে ছেদ করে। অর্থাৎ, \(y\)-অক্ষের উপর রেখার সমীকরণ:
\[
x = 0
\]
তাহলে, এই রেখার \(y\)-অক্ষের উপর বিন্দু:
\[
(0, c)
\]
দূরত্ব \(d\) এর জন্য, সরলরেখা ও \(y\)-অক্ষের মধ্যে দূরত্ব:
\[
d = \frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}}
\]
এখানে, \(m = \frac{7}{4}\), সুতরাং,
\[
d = \frac{|c|}{\sqrt{\left(\frac{7}{4}\right)^2 + 1}} = \frac{|c|}{\sqrt{\frac{49}{16} + 1}} = \frac{|c|}{\sqrt{\frac{49 + 16}{16}}} = \frac{|c|}{\sqrt{\frac{65}{16}}} = \frac{|c|}{\frac{\sqrt{65}}{4}} = \frac{4|c|}{\sqrt{65}}
\]
প্রদত্ত দূরত্ব:
\[
d = 2
\]
অতএব,
\[
2 = \frac{4|c|}{\sqrt{65}} \Rightarrow |c| = \frac{2 \sqrt{65}}{4} = \frac{\sqrt{65}}{2}
\]
তাহলে, \(c\) এর মান:
\[
c = \pm \frac{\sqrt{65}}{2}
\]
অতএব, সরলরেখার দুটি সমীকরণ হবে:
\[
y = \frac{7}{4}x + \frac{\sqrt{65}}{2}
\]
এবং
\[
y = \frac{7}{4}x - \frac{\sqrt{65}}{2}
\]
এখন, এগুলির সাধারণ সমীকরণ:
\[
y = \frac{7}{4}x \pm \frac{\sqrt{65}}{2}
\]
দুটি রেখার সমীকরণকে সমান রূপে প্রকাশ করতে চাইলে, সমীকরণ গুণন করে:
\[
4y = 7x \pm \sqrt{65}
\]
অথবা,
\[
7x - 4y \pm \sqrt{65} = 0
\]
এখানে, \(\sqrt{65}\) এর মান প্রায় 8.062, যা কাছাকাছি \(\pm 8\) এর। তাই, সাধারণত সমীকরণটি লেখে:
\[
7x - 4y \pm 8 = 0
\]
অতএব, সমাধান হলো:
\[
\boxed{7x - 4y \pm 8 = 0}
\]
উত্তর: **\(7x - 4y \pm 8 = 0\)**
