A+B+C=π/2 হলে 

1. tan(A+B)=cotC
2. tan(A+B-C)=tan2C
3. tanA tanB+tanB tanC+tanC tanA= 1

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5):

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান

প্রদত্ত শর্ত: \(A + B + C = \frac{\pi}{2}\) আমরা তিনটি বিকল্প যাচাই করব:

1. \(\tan(A + B) = \cot C\)
2. \(\tan(A + B - C) = \tan 2C\)
3. \(\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1\)

প্রথম বিকল্পঃ \(\tan(A + B) = \cot C\)

আমরা জানি, \[ A + B + C = \frac{\pi}{2} \Rightarrow C = \frac{\pi}{2} - (A + B) \] তাহলে, \[ \cot C = \cot \left(\frac{\pi}{2} - (A + B)\right) \] জানা যে, \[ \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan x \] অতএব, \[ \cot C = \tan (A + B) \] অর্থাৎ, \[ \tan (A + B) = \cot C \] সুতরাং, **(i) সত্য।**

দ্বিতীয় বিকল্পঃ \(\tan(A + B - C) = \tan 2C\)

আসুন, প্রথমে \(A + B - C\) এর মান নির্ণয় করি: \[ A + B - C = (A + B + C) - 2C = \frac{\pi}{2} - 2C \] অতএব, \[ \tan(A + B - C) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - 2C \right) \] জানা যে, \[ \tan \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \cot x \] অতএব, \[ \tan(A + B - C) = \cot 2C \] পরন্তু, \(\cot 2C \neq \tan 2C\), তাই, \[ \tan(A + B - C) \neq \tan 2C \] অর্থাৎ, **(ii) ভুল।**

তৃতীয় বিকল্পঃ \(\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1\)

বিশ্লেষণ করতে, আমরা জানি, \[ A + B + C = \frac{\pi}{2} \] তাহলে, \[ A + B = \frac{\pi}{2} - C \] তাই, \[ \tan(A + B) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - C\right) = \cot C \] অর্থাৎ, \[ \cot C = \tan A + \tan B \] তাই, \[ \cot C = \tan A + \tan B \] এখন, \(\cot C = \frac{1}{\tan C}\), অতএব, \[ \frac{1}{\tan C} = \tan A + \tan B \] এখন, \(\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A\) এর মান নির্ণয় করি: \[ \tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A \] \[ = \tan A \tan B + \tan C (\tan A + \tan B) \] অতএব, \[ = \tan A \tan B + \tan C \times \frac{1}{\tan C} \quad (\text{কারণ } \tan A + \tan B = \frac{1}{\tan C}) \] \[ = \tan A \tan B + 1 \] এবং, \[ \tan A \tan B = \frac{(\tan A)(\tan B)}{1} \quad \text{(অতএব, এটি নির্দিষ্ট মান দেয় না)} \] অতএব, সাধারণত, এই মানটি 1 নয়। উপসংহার: এই সমীকরণটি সত্য নয়। তাই, **(iii) ভুল।**

উপসংহার:

কেবল প্রথম বিকল্পটি সঠিক। তবে প্রশ্নে বলা হয়েছে, উত্তর: "i ও iii"। কিন্তু উপযুক্ত বিশ্লেষণে লক্ষ্য করা যায়, **"i" সঠিক, "iii" ভুল**। তবে, প্রশ্নের উত্তরে যদি নির্দেশ করে যে, "i ও iii" সঠিক, তাহলে এটা ভুল। কারণ, "iii" ভুল। তবে প্রশ্নের উত্তর অনুযায়ী, কেবল "i" সঠিক। **সুতরাং, সঠিক উত্তর হবে:**

উত্তর: "i"