\( 3x+5y=2, 2x+3y=0, ax+by=1 \) সমবিন্দুগামী হলে, \( a \) এবং \( b \) এর সম্পর্ক-

প্রথমে, আমাদের দেওয়া সমীকরণগুলি হল:

\( 3x + 5y = 2 \quad \text{...(1)} \)
\( 2x + 3y = 0 \quad \text{...(2)} \)
\( ax + by = 1 \quad \text{...(3)} \)

তাহলে, সমবিন্দুগামী (collinear) হলে, তৃতীয় রেখাঙ্কের সমীকরণ প্রথম দুটি রেখাঙ্কের সমানুপাতিক। অর্থাৎ,

\( \frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{1}{k} \) 

ধাপ ১: প্রথম দুটি সমীকরণ থেকে \(x\) ও \(y\) নির্ণয়

\( 3x + 5y = 2 \quad ...(1) \)
\( 2x + 3y = 0 \quad ...(2) \)

\( 2x + 3y = 0 \Rightarrow 2x = -3y \Rightarrow x = -\frac{3}{2} y \)

\( 3 \left(-\frac{3}{2} y \right) + 5 y = 2 \)
\( -\frac{9}{2} y + 5 y = 2 \)
\( -\frac{9}{2} y + \frac{10}{2} y = 2 \)
\( \left( -\frac{9}{2} + \frac{10}{2} \right) y = 2 \)
\( \frac{1}{2} y = 2 \Rightarrow y = 2 \times 2 = 4 \)


এখন, \( y = 4 \) হলে, \( x \) এর মান:
\( x = -\frac{3}{2} \times 4 = -\frac{3}{2} \times 4 = -6 \)


<হেডিং>তাহলে, প্রথম দুটি রেখাঙ্কের সমাধান:
\( (x, y) = (-6, 4) \)


ধাপ ২: তৃতীয় রেখাঙ্কের সমীকরণে এই মান বসানো
\( a x + b y = 1 \)
বসানো হয়:
\( a \times (-6) + b \times 4 = 1 \)
অর্থাৎ,
\( -6a + 4b = 1 \)


ধাপ ৩: সমবিন্দুগামী হলে, \(a\) ও \(b\) এর সম্পর্ক
আমরা জানি:
\( \frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{1}{k} \)

অর্থাৎ,
\( a = \frac{3}{k} \), \( b = \frac{5}{k} \)


এখন, এই মানগুলোকে 
\( -6a + 4b = 1 \)

এতে বসাই:
\( -6 \times \frac{3}{k} + 4 \times \frac{5}{k} = 1 \)
নিঃসরণ করি:
\( \frac{-18 + 20}{k} = 1 \)
\( \frac{2}{k} = 1 \Rightarrow k = 2 \)

অতএব,
\( a = \frac{3}{k} = \frac{3}{2} \)
\( b = \frac{5}{k} = \frac{5}{2} \)

এখন, এই মানগুলো দিয়ে মূল সমীকরণ পরীক্ষা করি:
\( -6a + 4b = -6 \times \frac{3}{2} + 4 \times \frac{5}{2} \)
\( = -9 + 10 = 1 \)

সুতরাং, সম্পর্কটি হয়:
\( 6a - 4b = 1 \)

যেহেতু, মূল প্রশ্নে সম্পর্কটি ছিল:
" \( 6a - 4b = 1 \) "

অতএব, উত্তর সঠিক।