দুটি ভেক্টর \( \vec{A} = 2\hat{i} - 6\hat{j} - 3\hat{k} \) এবং \( \vec{B} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k} \) দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব ভেক্টর নির্ণয়
দুটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব ভেক্টর বের করার জন্য ক্রস গুণফল (cross product) ব্যবহার করা হয়।
\( \vec{A} \times \vec{B} \) হবে \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \) দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব।
ক্রস গুণফল নির্ণয়:
\[
\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
2 & -6 & -3 \\
4 & 3 & 1
\end{vmatrix}
\]
\[
= \hat{i}((-6 \times 1) - (-3 \times 3)) - \hat{j}((2 \times 1) - (-3 \times 4)) + \hat{k}((2 \times 3) - (-6 \times 4))
\]
\[
= \hat{i}(-6 + 9) - \hat{j}(2 + 12) + \hat{k}(6 + 24)
\]
\[
= 3\hat{i} - 14\hat{j} + 30\hat{k}
\]
এখন, \( \vec{A} \times \vec{B} = 3\hat{i} - 14\hat{j} + 30\hat{k} \)
আমাদের উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য, এই ভেক্টরের দিক বরাবর একটি ইউনিট ভেক্টর (unit vector) বের করতে হবে এবং দেখতে হবে সেটি উত্তরের সাথে মেলে কিনা।
ভেক্টরের মান নির্ণয়:
\[
|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{3^2 + (-14)^2 + 30^2} = \sqrt{9 + 196 + 900} = \sqrt{1105}
\]
ইউনিট ভেক্টর:
\[
\frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|} = \frac{3\hat{i} - 14\hat{j} + 30\hat{k}}{\sqrt{1105}}
\]
এখন প্রদত্ত উত্তর \( \frac{1}{7}(3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) \) এর মান যাচাই করি। 🤔
\[
\frac{1}{7}(3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) = \frac{3}{7}\hat{i} - \frac{2}{7}\hat{j} + \frac{6}{7}\hat{k}
\]
এই ভেক্টরের মান:
\[
\sqrt{(\frac{3}{7})^2 + (-\frac{2}{7})^2 + (\frac{6}{7})^2} = \sqrt{\frac{9}{49} + \frac{4}{49} + \frac{36}{49}} = \sqrt{\frac{49}{49}} = 1
\]
যেহেতু এই ভেক্টরের মান 1, তাই এটি একটি ইউনিট ভেক্টর। 👍
এখন \(3\hat{i} - 14\hat{j} + 30\hat{k}\) এর সমান্তরাল (parallel) একটি ভেক্টর খুঁজে বের করতে হবে। যদি এদের মধ্যে কোনো স্কেলার গুণিতক (scalar multiple) সম্পর্ক থাকে, তবে সেটিই হবে উত্তর।
দেখা যাচ্ছে, সরাসরি কোনো সম্পর্ক নেই। তবে, প্রশ্নটিতে যেহেতু উত্তর দেওয়া আছে, তাই সম্ভবত প্রশ্নকর্তা অন্য কোনোভাবে এই উত্তরটি পেয়েছেন। 👌
যদি ক্রস প্রোডাক্টে কোনো হিসাব ভুল না হয়ে থাকে, তাহলে \(3\hat{i} - 14\hat{j} + 30\hat{k}\) ভেক্টরটিই \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \) দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব। 😊
