\( f(x) = \log x + 1 (2x+1) \) হলে \( f(x) \) এর ডোমেইন কোনটি?

\( f(x) = \log x + \frac{1}{2x+1} \) ফাংশনটির ডোমেইন নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, \(\log x\) ফাংশনের ডোমেইন \( x > 0 \) অর্থাৎ \((0, \infty)\)।

আরও জানি, \(\frac{1}{2x+1}\) ফাংশনটি \( 2x+1 = 0 \) হলে অসংজ্ঞায়িত হবে। সুতরাং, \( 2x+1 \neq 0 \) হতে হবে।

\( 2x+1 \neq 0 \) \(\implies 2x \neq -1\) \(\implies x \neq -\frac{1}{2}\)

সুতরাং, \(\frac{1}{2x+1}\) ফাংশনের ডোমেইন হলো \( x \neq -\frac{1}{2} \) অর্থাৎ \((-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, \infty)\)।

এখন, \( f(x) \) এর ডোমেইন হবে \(\log x\) এবং \(\frac{1}{2x+1}\) উভয় ফাংশনের ডোমেইনের ছেদ।

অর্থাৎ, \( (0, \infty) \cap \left( (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, \infty) \right) \)

যেহেতু \((0, \infty)\) এর মধ্যে \( -\frac{1}{2} \) নেই, তাই আমরা লিখতে পারি,

\( (0, \infty) - \{ -\frac{1}{2} \} \) কিন্তু \( -\frac{1}{2} \notin (0, \infty) \), তাই এটিকে বাদ দেওয়ার প্রয়োজন নেই। কিন্তু আমাদের \(2x+1\) এর কারণে \(x\) এর মান \(-\frac{1}{2}\) হতে পারবে না। আবার, লগ এর কারণে \(x\) এর মান \(0\) থেকে বড় হতে হবে। সুতরাং, \(x > 0\) এবং \(x \neq -\frac{1}{2}\)। যেহেতু \(x > 0\), তাই \(x \neq -\frac{1}{2}\) কন্ডিশনটি সবসময় সত্য। তাহলে, \(f(x)\) এর ডোমেইন হবে \((0, \infty)\) কিন্তু \(x \neq -\frac{1}{2}\) হওয়ার কারণে এবং লগ এর শর্তানুসারে \(x > 0\) হওয়ায় ডোমেইন হবে:

\((-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \infty)\) এই অংশটি ভুল আছে। সঠিক উত্তর হবে \((0, \infty)\)। প্রদত্ত উত্তরে \(-\frac{1}{2}\) এর চেয়ে বড় কিন্তু \(0\) থেকে ছোট মানগুলোকেও অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, যা ভুল। কারণ, \(\log x\) এর জন্য \(x\) এর মান অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে।

তবে প্রশ্নে যদি \(\log x\) এর সাথে \(\frac{1}{2x+1}\) যোগ আকারে না থেকে গুণ আকারে থাকতো, অর্থাৎ \(f(x) = \log x \cdot \frac{1}{2x+1}\) হতো, তাহলেও ডোমেইন একই থাকতো: \((0, \infty)\)। কারণ, \(\log x\) এর শর্তই এখানে প্রধান।

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: \(f(x) = \log(x(2x+1))\) তবে ডোমেইন হবে: \(x(2x+1)>0\) \(x>0\) এবং \(2x+1>0\) অথবা \(x<0\) এবং \(2x+1<0\) \(x>0\) এবং \(x>-\frac{1}{2}\) অথবা \(x<0\) এবং \(x<-\frac{1}{2}\) তাহলে \(x>0\) অথবা \(x<-\frac{1}{2}\) ডোমেইন: \((-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (0, \infty)\)

কিন্তু যেহেতু প্রশ্নটি \( f(x) = \log x + \frac{1}{2x+1} \), তাই এর ডোমেইন হবে \((0, \infty)\)।